阅读 CSAPP 关于算术运算的笔记
整数无符号加法
定义 $x + _w^u y$ 表示两个 $[0, 2^w)$ 范围内的整数相加，将结果截断为 $w$ 位，且视为 无符号 整数。正常运算情况下，即 $x + y < 2^w$ 时，$x + _w^u y = x + y$；但如果发生了溢出，即 $2^w \leq x + y < w^{w+1}$ 的时候，$x + _w^u y = x + y - 2^w$，相当于自动对于 $2^w$ 取模。
溢出检查
对于范围 $[0, 2^w - 1]$ 内的 $x$ 和 $y$，执行无符号加法，令 $s \doteq x + _w^u y$，当且仅当运算结果 $s < x$（或 $s < y$）发生了溢出。
求相反数
考虑 $w$ 位无符号数的集合，执行运算 $+ _w^u$。对于每个值 $x$，必然存在某个值 $y$ 满足 $x +_w^u y - 0$。这个 $y$ 就是相反数（逆元）。当 $x=0$ 时，对应的 $y=0$。当 $x \not= 0$ 时，$y = 2^w - x$，因为 $x +_w^u y = (x + 2^w - x) \bmod 2^w = 2^w \bmod 2^w = 0$：
$$ y = -_w^u x = { \begin{array}{l} x, & {x = 0} \\ 2^w - x, & {x > 0} \end{array} }. $$
整数有符号加法（补码加法）
定义 $x +_w^t y$ 表示两个 $[-2^{w-1}, 2^{w-1})$ 范围内的整数相加，将结果截断为 $w$ 位，且视为 补码 数。
$$ x + _w^t y = \left\{ \begin{array}{l} x+y-2^w, & {2^{w-1} \leq x+y} & \text{正溢出} \\ x+y, & {-2^{w-1} \leq x+y < 2^{w-1}} & \text{正常} \\ x+y+2^w, & {x+y < -2^{w-1}} & \text{负溢出} \end{array} \right. $$
简单地说，当 $x + y$ 的结果达到或者超过了 $2^{w-1}$，就是正溢出，要把结果减去 $2^w$。如果 $x+y$ 的值连 $w$ 位补码表示的最小整数值（$-2^{w-1}$）都达不到，就是负溢出，要加上 $2^w$。
实际上，大多数计算机使用同样的机器指令来执行无符号或有符号加法，因为补码加法和无符号加法有相同的位级表示。所以，计算两个有符号（补码）加法，完全可以先把两个数当成无符号的，执行无符号加法，再将结果当成补码。经过一番推导，得到：$x + _w^t y = U2T_w[(x + y) \bmod 2^w]$。
溢出检测
对于范围 $[-2^{w-1}, 2^{w-1})$ 内的 $x$ 和 $y$，执行无符号加法，令 $s \doteq x + _w^t y$：
- 当且仅当 $x, y > 0$ 而 $s < 0$ 时，发生了正溢出
- 当且仅当 $x,y < 0$ 而 $s > 0$ 时，发生了负溢出
补码的非（相加等于零的数，不是位取反）
考虑两段简单的 C++ 代码：
int x = -2147483648;
int y = -x;
std::cout << y << "\n";
// output result is -2147483648, not 2147483648
也就是说，对于 $TMin_w$（$w$ 位补码能表示的最小整数），其补码的非（位取反）是自己本身。也就是指，自己加上自己，结果为 $0$。
$$ y = -_w^t x = \{ \begin{array}{l} TMin_w, & {x = TMin_w} \\ -x, & {x > TMin_w} \end{array} \}. $$
其实，$x = TMin_w$ 本身补码的反，也是 $-x$，然而由于发生了溢出，所以最后又变成了 $TMin_w$ 自己本身。
而补码表示系统当中，一个数的相反数，相当于补码位取反再加上一。所以，在 C/C++ 语言中，表达式 -x 与 ~x+1 是完全一样的。
整数无符号乘法
由于溢出，无符号整数每一步运算，都相当于对 $2^w$ 自然溢出取模。所以：$x \times_w^u y = x \times y \bmod 2^w$。
整数补码乘法
与整数的补码加法类似，依然是先把两个数当成无符号的，执行无符号乘法，再将结果当成补码：$x \times_w^t y = U2T_w(x \times y \bmod 2^w)$。
两个 $w$ 位数的乘法，产生结果最大可能需要 $2w$ 位表示。所以不是很容易搞溢出检测，但依然可以。CSAPP 把这个问题当作习题。
乘以常数
CSAPP 指出，编译器会转化为左移和加法的组合。