slide 15: 势 Cardinality（有限集）
对于有限集，其势就是集合当中的元素个数，也成为集合的大小（size），分别可以用 $\# S$ 和 $|S|$ 表示。
势的一些性质
- 若 $A \subseteq B$，则 $\# A \leq \# B$。特别的，$\#(A \cap B) \leq \# A$ 且 $\#(A \cap B) \leq \# B$。
- $\#(A \cup B)=\# A+\# B-\#(A \cap B)$，这条性质有点类似容斥原理的感觉
- $\#(A \backslash B)=\# A-\#(A \cap B)$，$A \backslash B$ 的意思是 $B$ 在全集 $A$ 当中的补集
- $\#(A \times B)=\# A * \# B$，笛卡尔积
势和函数
假设 $f$ 是一个优先函数，定义域是 $A$，到达域是 $B$。
- 若 $f$ 是一个偏函数，则 $\# f < \# A$
- 若 $f$ 是一个全函数，则 $\# f = \# A$
- 若 $f$ 是一个单射函数，则 $\# f \leq \# B$
- 若 $f$ 是一个满射函数，则 $\# f \geq \# B$
- 若 $f$ 是一个双射函数，则 $\# f = \# B$
- 若 $f$ 既是全函数又是单射函数，则 $\# f = \# A \leq \# B$
- 若 $f$ 既是全函数又是双射函数，则 $\# f = \# A = \# B$
若一个全函数的定义域是 $A$，到达域是 $B$，则这个全函数，有 $(\# b)^{(\# A)}$ 种不同的可能。因此，有时候，我们把所有的从 $A$ 到 $B$ 的函数的集合，记作 $B^A$。
幂集 power set
如果 $S$ 是一个集合，那么 $S$ 的所有的子集构成的集合，就叫做 $S$ 的幂集（power set），写作 $\mathbb{P}(S)$。当然，幂集当中是包含空集 $\emptyset$ 的，共有 $2^{(\# S)}$ 个元素。
因此，如果一个集合 $A$ 是 $S$ 的子集，那么 $A$ 就是 $S$ 的幂集的元素，即 $A \subseteq S \Longleftrightarrow A \in \mathbb{P}(s)$。