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Chapter 8 比较两个对象

  • treatment：处理组
  • experimental unit：实验单元

  • response：响应

  • 例子 8.1，专家组，新手组，独立样本设计（independent sample design），在课本 266 页

  • 还有例子二，土木工程师，研究车道油漆耐用性的

考虑：

  • 独立样本
  • 配对的样本

关于独立的大样本的假设

若：

  1. 样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自均值、方差分别为 $\mu_1, \sigma_1^2$ 的一号总体
  2. 样本 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 来自均值、方差分别为 $\mu_2, \sigma_2^2$ 的二号总体
  3. 两个样本都是大样本（$n_1\geq 30$，$n_2\geq 30$）且相互独立

则两个样本的均值的差值，服从正态分布。形式化的说就是： $$\boxed{Z = \frac{\overline X - \overline Y - \delta}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}}$$，$Z \sim N(0, 1)$，因为 $\overline X - \overline Y \sim N(\mu_1-\mu_2, \frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2})$，其中用 $\delta$ 表示两个样本均值的差值（$\delta = \mu_1-\mu_2$）。反正对于大样本，已知 $\sigma$ 就用 $\sigma$，不然就用 $S$ 代替。

跟第七章类似。样本均值的差的 $(1-\alpha)100\%$ 置信区间是：$$\boxed{(\bar x - \bar y) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}}$$。

对于原假设 $H_0: \mu_1-\mu_2 = \delta_0$，$Z$ 是刚才上面那一坨，表格如下（其实跟第七章的基本一样）

image.png

关于独立的小样本（等方差）的假设

注意，对于小样本的题目，必须满足总体服从正态分布才可做！但是对于大样本，就没有这个限制。因为 大样本小样本的区别就在于中心极限定理。大样本无论什么总体分布可以用正态分布，小样本只有总体服从正态分布的时候才能用正态分布，否则用 t 分布。

对于大样本来说，如果方差未知，直接用样本标准差代替就好了；但是对于小样本来说，不能直接用标准差代替。

对于两组小样本方差相差不大的情况，可以池化（pool），就是两组扭起来，以此来估算总体方差 $\sigma^2$：$$S_p^2=\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(X_i-\bar{X}\right)^2+\sum_{i=1}^{n_2}\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2}{n_1+n_2-2}= \boxed{\frac{\left(n_1-1\right) S_1^2+\left(n_2-1\right) S_2^2}{n_1+n_2-2}}$$，这个东西 $$t=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\delta}{S_p \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$$ 服从 t 分布，自由度是 $\boxed{n_1+n_2-2}$.

$(1-\alpha)100\%$ 的置信区间是 $$(\bar{x}-\bar{y}) \pm t_{\alpha / 2} \cdot S_p \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}$$，还是移项算出来的，其中 t 的自由度是 $n_1+n_2-2$.

小样本，不等方差

t 发生了变化$$t^{\prime}=\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\delta}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}}$$，自由度也不再是整数，而是 $$\frac{\left(\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(S_1^2 / n_1\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(S_2^2 / n_2\right)^2}{n_2-1}}$$。这个方法是比较近似的，不是精确解，名叫 Smith-Satterthwaite test.

$(1-\alpha)100\%$ 的置信区间是 $$(\bar{x}-\bar{y}) \pm t_{\alpha / 2} \cdot \sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}$$。

算这个实在太麻烦了，所以说，在实际应用当中，如果方差相差不大（三倍以内），一般就当作等方差了。

配对比较

刚才是不配对的，现在研究一下配对的（很简单）。配对意思就是 $X_i$ 与 $Y_i$ 一一对应了。定义 $D_i = X_i - Y_i$，所以本质上就变成一个变量的问题了。